Por: Juan Rodríguez Vega

Euclides vivió entre los años 330 a.c. – 275 a.c. y forma junto a Arquímedes y Apolonio de Perga la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que considerarlo también como uno de los más ilustres matemáticos de todos los tiempos.

Pese a que realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces como un mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran mérito de Euclides reside en su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas, estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega. Juzgada no sin motivo como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia durante más de veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no euclidianas.

Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

Euclides enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más importante del mundo helénico, y alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía ptolemaica que gobernaría Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría. Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno.

La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido asimismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje. Euclides le explicó que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma; y dado que el muchacho tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios, ordenó a un sirviente que le diera unas monedas.

Los Elementos de Euclides

Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, Los Elementos, el segundo libro más traducido en el mundo, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), a las que superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito.

De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría plana o elemental. En ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas en la escuela de Pitágoras para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas; se incluye también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.

Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas: las principales propiedades de la teoría de los números (divisibilidad, números primos), los conceptos de conmensurabilidad de segmentos a sus cuadrados y las cuestiones relacionadas con las transformaciones de los radicales dobles. Los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que habían sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

De las restantes obras de Euclides sólo poseemos referencias o breves resúmenes de comentaristas posteriores. Los tratados sobre los Lugares superficiales y las Cónicas ya contenían, al parecer, algunos de los resultados expuestos posteriormente por Apolonio de Perga. En los Porismas se desarrollan los teoremas geométricos denominados actualmente de tipo proyectivo; de esta obra sólo conservamos el resumen trazado por Pappo de Alejandría. En Óptica y Catóptrica se estudiaban las leyes de la perspectiva, la propagación de la luz y los fenómenos de reflexión y refracción.

Dos mil años de vigencia

La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Tras la caída del Imperio Romano, su obra fue preservada por los árabes y de nuevo ampliamente divulgada a partir del Renacimiento.

Más allá incluso del ámbito estrictamente matemático, Euclides fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Spinoza, para la ética. Ello sin contar la multitud de filósofos y científicos de todas las épocas que, en su búsqueda de sistemas explicativos de validez universal, tuvieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de Euclides.

De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de ‘Los Elementos’, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, llamado de las paralelas. Según este postulado, por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a dicha recta. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrar el quinto postulado como teorema.

Los esfuerzos por hallar una demostración resultaron infructuosos y prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando algunos trabajos inéditos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y las investigaciones del matemático ruso Nikolai Lobachevski (1792-1856) evidenciaron que era posible definir una geometría perfectamente consistente (la geometría hiperbólica) en la que no se cumplía el quinto postulado. Se iniciaba así el desarrollo de las geometrías no euclidianas, de entre las que destaca la geometría elíptica del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), juzgada por Albert Einstein como la que mejor representa el modelo de espacio-tiempo relativista.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el que todos los teoremas (‘declaraciones verdaderas’) derivan de un pequeño número de axiomas Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen ‘evidentes’ (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Los postulados de Euclides

1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

• 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, muchos geómetras intentaron deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (dada una recta, existen varias rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta). Puesto que ambas geometrías son consistentes, se deduce que el quinto postulado es, en efecto, un postulado que no puede deducirse de los otros cuatro. Estas geometrías, en las que el quinto postulado no es válido, se llaman geometrías no euclidianas.

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