Maxwell y sus demonios (sus ecuaciones)

Por: Juan Rodríguez Vega

James Clerk Maxwell (Reino Unido: 13 de junio de 1831-5 de noviembre de 1879)​ fue un matemático y científico escocés. Su mayor logro fue la formulación de la teoría clásica de la radiación electromagnética, que unificó por primera vez la electricidad, el magnetismo y la luz como manifestaciones distintas de un mismo fenómeno. Las ecuaciones de Maxwell, formuladas para el electromagnetismo, han sido ampliamente consideradas la ‘segunda gran unificación de la física’, siendo la primera aquella realizada por Isaac Newton.

Hoy en día hablamos de un ‘campo magnético’ o de un ‘campo eléctrico’ como si estas ideas fueran obvias. Fue Maxwell quien dio sustancia a estos  términos. Antes de su tiempo habían sido solo metáforas de Michael Faraday para representar la influencia de fuentes de magnetismo y electricidad.

Maxwell demostró que estos campos podían expresarse matemáticamente mediante ecuaciones que describen su comportamiento e interacciones. Derivó sus ecuaciones a partir de las leyes conocidas de la electricidad y el magnetismo, con algunas ideas propias adicionales cruciales. Las ecuaciones de Maxwell han sobrevivido a los cambios revolucionarios de la física del siglo XX y sustentan una gran variedad de fenómenos naturales.

En particular, predicen la posible existencia de ondas electromagnéticas y su comportamiento, incluidas las ondas luminosas y de radio.

Las ecuaciones de Maxwell datan de principios de la década de 1860, pero las elegantes cuatro líneas que se suelen citar en la actualidad utilizan la notación vectorial introducida por Oliver Heaviside en la década de 1880. E y D se refieren a diferentes aspectos del campo eléctrico. El campo eléctrico es creado por la carga eléctrica. H y B se refieren a diferentes aspectos del campo magnético.

El campo magnético es creado por cargas en movimiento. El símbolo ∇ (‘nabla’, como un triángulo que apunta hacia abajo) se usa seguido de un punto para representar una cantidad llamada ‘divergencia’. ∇× es la cantidad conocida como ‘curl’. Esta es una cantidad técnica relacionada con el efecto de circular alrededor de un circuito cerrado en el campo.

En el flujo de fluidos, los remolinos y los anillos de humo tienen circulación y la circulación de la velocidad del aire es una cantidad clave en la meteorología moderna.

Los campos divergen cuando tienen fuentes puntuales.

La primera ecuación (∇.B = 0) dice que no hay fuentes puntuales del campo magnético B, es decir, no existen monopolos magnéticos. Para decirlo de otra manera, las líneas de campo magnético no comienzan ni terminan en ningún lado, sino que forman bucles cerrados.

La segunda ecuación (∇.D = ρ) dice que la carga es la fuente del campo eléctrico D, siendo ρ la densidad de carga. Las líneas de campo eléctrico comienzan con carga positiva y terminan con carga negativa.

La tercera ecuación relaciona el rotacional de E con la tasa de cambio del campo magnético (∇×E = – ∂B/∂t). Esta es la relación subyacente al funcionamiento de dínamos y transformadores, para dar dos ejemplos, donde un campo magnético cambiante a través de un circuito induce una FEM en el circuito. Es por eso que tenemos red de CA y no de CC.

La ecuación final que define ∇×H introduce el símbolo J para la densidad de corriente e incluye el hecho de que un campo eléctrico cambiante inducirá un campo magnético en los alrededores. De hecho, la corriente, que es una carga eléctrica en movimiento, es la principal fuente de campo magnético.

Con estas ecuaciones, Maxwell demostró que en el espacio libre los campos eléctricos y magnéticos obedecen a una ecuación de onda cuya solución tiene las propiedades de la luz y el calor radiante.

Una propiedad de la solución es que en el espacio libre tanto el campo eléctrico como el magnético forman ángulos rectos con la dirección de propagación. Esto encajaba exactamente con las conocidas propiedades de polarización de la luz. Lo que remató la asociación con la luz y el calor para Maxwell fue que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas estaba determinada por constantes conocidas a partir de experimentos puramente electromagnéticos.

Predijeron un valor para la velocidad de las ondas electromagnéticas que, dentro de un error experimental, coincidía con la velocidad medida de la luz. Su golpe de predicción inició experimentos refinados para medir la velocidad de la luz con precisión (especialmente por Leon Foucault) y él mismo emprendió un experimento electromagnético muy cuidadoso para medir las constantes electromagnéticas con mayor precisión.

El resultado neto de esta actividad experimental durante varios años confirmó la predicción de Maxwell de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz.

Cuando se trata de materiales, las ecuaciones de Maxwell escritas de manera tan sucinta necesitan ser desglosadas. La relación entre D y E implica el concepto de constante dieléctrica y la de permeabilidad magnética entre B y H.

Es necesario crear otros conceptos, como capacitancia, inductancia y conductividad. Se necesitan desarrollos como la fuerza sobre una carga en movimiento (la fuerza de Lorentz) y la energía asociada al campo electromagnético (el vector de Poynting).

Con estos y los valores numéricos apropiados en casos particulares, se puede desentrañar una amplia gama de fenómenos del campo electromagnético: la ley de Ohm, por qué el vidrio es transparente pero la plata refleja, cómo diseñar antenas direccionales de radio y televisión, cómo hacer hornos de microondas y redes wifi, cómo generar electricidad de manera eficiente a partir del movimiento mecánico, cómo acelerar partículas a una energía lo suficientemente alta como para que se puedan desarrollar nuevas técnicas de imágenes médicas y cientos de aplicaciones más perspicaces que no se podían hacer antes de que apareciera Maxwell.

En la práctica, manejar las ecuaciones de Maxwell no es tan fácil porque se necesita una mente clara, se debe tener en mente una variedad de conceptos interconectados a la vez y es deseable un buen grado de habilidad matemática aplicada. Como resultado, los cursos sobre electricidad y magnetismo son reconocidos como uno de los más difíciles en las carreras universitarias de Física e Ingeniería. Maxwell mismo era un maestro de todos los atributos necesarios, capaz de desarrollar la teoría sin que otros le mostraran cómo hacerlo.

Los campos llenan todo el espacio y un campo determinado define una influencia en cualquier punto del espacio. El campo eléctrico es una cantidad vectorial que define la magnitud y la dirección de la fuerza sobre una unidad de carga colocada en el punto. El campo magnético define el par en un imán minúsculo, por lo que las limaduras de hierro muestran líneas de campo magnético y las brújulas funcionan. Maxwell mostró cómo formular una teoría de campo matemáticamente y, por lo tanto, cuantitativamente.

La física del siglo XX ha tomado los conceptos de Maxwell y los ha visto como el camino a seguir para describir los procesos fundamentales de la naturaleza. La Teoría Cuántica de Campos es un resultado, la Relatividad General otro. Los campos son la realidad moderna. Maxwell, mucho antes de que naciera nadie hoy en día, mostró cómo se podían construir teorías de campo.